Bir Matematikçiyi Delirtip Mesleği Bırakmasına Neden Olan Mevzu: Russel Paradoksu
gottlob frege isimli alman matematikçinin 20 yılını vererek geliştirdiği matematiksel sistemi anlatan eserin yayınlanmasından kısa bir süre bertrand russell tarafından frege'ye bir soru sormak için ortaya atılan ve frege'nin bu kitabı yazmaya çalışmakla geçen 20 yılının tamamının çöpe gitmesine sebep olan russell paradoksundan bahsedelim.
bu paradoks aslında daha önce italyan matematikçi giuseppe peano'nun asistanı cesare burali-forti tarafından keşfedilse de onun tarafından önemi pek anlaşılmamış, daha sonra russell kendi eseri olan principia mathematica isimli muazzam kitabı yazmaya çalışırken forti'den bağımsız olarak bu paradoksu keşfederek önemini anlamış ve bu paradoksu matematiğin en önemli kuramlarından birinin yapıtaşı olarak kullanmıştır. bu sebepten paradoks russell paradoksu olarak bilinir.
Bertrand Russell
peki nedir bu paradoks?
öncelikle russell'ın frege'ye sorduğu sorunun kolay anlaşılır bir versiyonu olan berber sorusunu sorup, daha sonra frege ve russell hikayesine bakalım.
sorumuz şu şekilde
tuhaf tıraş yasaları olan ve yasalar gereği herkesin tıraş olması gereken bir köy ve bu köyün de yalnızca tek bir berberi var.
köyün tıraş yasaları şunu söyler: kendini tıraş edebilenler kendini tıraş etmeli ve köyün berberi yalnızca kendini tıraş edemeyenleri tıraş etmeli.
bu durumda berber kendini tıraş edebilir mi?
eğer berber kendini tıraş edebilirse kendisini tıraş edememesi gerekir çünkü köyün berberi yalnızca kendini tıraş edemeyenleri tıraş edebilir, eğer kendisini tıraş edemiyorsa da kendisini tıraş edebilmesi gerekir çünkü berber kendisini tıraş edemeyenleri tıraş etmekle yükümlüdür.
böyle bir berber mümkün müdür?
soruyu cevaplamaya çalışalım
bu sorunun cevaplamaya çalışmak istiyorsak öncelikle bu sorunun neden böyle insanlar tarafından ortaya atıldığını ve hatta bu insanlardan birinin ruh sağlını yitirmesine sebep olarak dolaylı yoldan ölümüne sebep açtığını anlamamız gerek.
21. yüzyılda matematik dünya çapında aşağı yukarı aynı şekilde öğrenilen ve konuların birbiriyle bağlantılı olduğu bir yapıya sahip olduğu için belki bugün yaşayan bizler o zamanki insanların derdini anlamakta zorluk çekebiliriz, çünkü 19. ve 20. yüzyıllardaki matematik bizim şu an bildiğimiz matematiğe pek de benzemiyordu.
o dönemler fonksiyonlar, cebir, sayılar kuramı gibi alanlar mevcuttu ancak bu alanlar birbirleriyle kopuk, bölük pörçük incelenen alanlardı. bu alanların her birinin ortak noktası sayılar olmasına rağmen matematiğin temelinin ne olduğuna bir türlü karar veremiyor ve tüm matematiğin en başında gelen konunun ne olduğunu bilmiyorduk. çünkü aslında biz insanlık olarak sayıların ne olduklarını bilmiyorduk. sayı dediğimiz şey tamamen sezgiseldi ve sayının ne olduğu hakkında aslında pek de bir fikrimiz yoktu.
bir düşünelim:
mesela aynı çağda biyoloji konusunda bir araştırma yapmak istiyoruz ve biyolojinin temelinin ne olduğuna karar vereceğiz. diyelim ki bunu yapabilmek için bir mikroskop ile organlara, dokulara bakarak hücreleri görüp "hepsinde hücre varmış, demek ki biyolojinin temeli hücredir" gibi bir kanıya vardık. biz bu kanıya vardıktan sonra biri gelip bize "hücre ne demek kardeşim" diye sorduğunda o kişinin eline mikroskobu tutuşturup "bak işte hücre senin de benim de günlük hayatta bu mikroskop ile görebildiğin şeydir" şeklinde cevap verebilirdik. çünkü biyoloji dediğimiz şey aslında bizim günlük hayatta görebildiğimiz, duyabildiğimiz, tecrübe edebildiğimiz şeyler üzerine kuruludur.
öte yandan eğer matematiğin temelinin sayılar olduğuna karar verirsek, bize gelip de "sayı ne demek kardeşim" diye soran birine sayıları gösterebilir miyiz?
mesela o kişiye önce bir inek ve sonra iki inek gösteririz ve "bu 1 inek, bu 2 inek" deriz. ancak bu kişi bize "inek görüyorum ama 1, 2 falan görmüyorum, bu 1 ve 2 dediğin şeyleri sen uydurmuş olmayasın" dediği zaman elimizden hiçbir şey gelmez. bu sebepten, sayıların sezgisel olması matematiğin ortak bir temeli olmasını güçleştirir ve ortaya sayılardan da temel olacak bir temel oluşturma ihtiyacı doğar. yani aslında matematik dediğimiz şeyin temelini bilimdeki gibi günlük hayattan örneklerle gösterebildiğimiz şekilde oluşturmak imkansız olduğundan bu işi mantık yoluyla halletmemiz gerekir.
bu konuda tarih boyunca çok tartışmalar dönmüş, çok canlar yakılmıştır. felsefe derslerinde işlenen, platon'un idealar evreni görüşünü hatırlayanlar olacaktır. platon'un idealar evreni fikri aslında bir matematiksel duruştur ve tamamen yukarıda bahsettiğimiz konuyla ilgilidir, ancak biz platon'u bir matematikçi olarak değil de filozof olarak değerlendirdiğimiz için günümüzde bu duruşun sebebini anlamakta güçlük çekip olayı tamamen yanlış değerlendirebiliyoruz.
daha önce yazdığım 6 farklı zar yapmanın imkansız olması konusundan da görülebileceği üzere platon aslında bir matematikçidir ve idealar evreni fikri de bir matematiksel argüman içerir. platon idealar evreni düşüncesinde gerçek hayatta görebildiğimiz objelerden oluşan bir evrenden ve gerçek hayatta göremediğimiz ancak zihnimizde var olan objelerden oluşan iki farklı evren olduğunu, bunlardan ilkinin nesneler evreni, ikincisinin ise idealar evreni olduğunu savunmuştur. bu düşünce aslında hücre dediğimiz şeyleri gösterebilirken, sayı dediğimiz ve bir şekilde evrende var olduğunu hissedebildiğimiz ancak "bak işte sayı burada" diyerek gösteremediğimiz şeyler arasındaki farktan bahseder. tabii o dönemler bu tartışma sadece sayılarla ilgili değildir ancak yine de tartışma özünde sayıları da kapsar.
sayıları gösterip "bak bu burada" diyemediğimiz için, dönemin matematikçileri matematiğin temelinin mantık olduğunu ve mantık kullanarak oluşturulmuş kümeler kuramı dediğimiz kuramın sayılar da olmak üzere bütün matematiğin temelini oluşturabileceği üzerine düşünmeye ve bu işi yapabilmek adına çalışmalar yapmaya başlarlar. bu çalışmaları yaparken de aksiyom ve bu aksiyomlardan yola çıkarak bulunmuş teoremleri kullanırlar. aksiyom dediğimiz şeyler basitçe kanıtlamanın bir yolu olmadığı için doğru kabul edilen önermelerdir.
örneğin bir spor müsabakası hayal edelim. bu spor müsabakasında oyunun kuralları gereğince bir sporcunun diğerine faul yapıp yapmadığını kanıtlayabiliriz. mesela bir sporcunun diğerine faul yaptığını kanıtlayabiliriz. diyelim ki faul yapan oyuncu diğerine yumruk atmış olsun. bu durumda biz " mahmut isimli sporcu hüso isimli sporcuya yumruk attı, oyunun kuralları gereği yumruk atmak faul demektir, demek ki mahmut isimli oyuncu faul yaptı" sonucuna varabiliriz.
bu örnekte mahmut'un faul yaptığı bir teorem, yumruk atmanın faul olması da aksiyomdur. mahmut'un faul yaptığını oyunun kurallarına bakıp kanıtlayabiliriz ve bu su götürmez bir gerçektir, ancak yumruk atmanın faul olduğunu kanıtlamanın bir imkanı yoktur çünkü yumruk atmanın faul olması bizim uydurduğumuz bir kuraldır. eğer biz oyunun kurallarını koyarken yumruk atmanın faul olduğunu kabul etmezsek, mahmut hüso'ya yumruk attığında faul yapmış olduğunu kanıtlayamayız.
matematik de tam olarak bu şekilde işler.
matematik bir oyundur ve biz kendi aramızda bu oyunun aksiyom adını verdiğimiz kurallarını belirleriz. daha sonra bu kurallardan yola çıkarak bazı yargılarda bulunur ve bu yargıların doğruluğunu mantık kullanarak kanıtlarız. kanıtladığımız şeylere de teorem deriz.
frege hikayemiz tam olarak bu noktada başlıyor
alman matematikçi frege 20. yüzyılda matematiğin temelini oluşturmaya çalışan matematikçiler kervanına katılıyor ve bunun için 1879 yılında düşünmeye başlıyor ve her ne kadar matematiğin temelleri üzerine olan ve türkçeye matematiğin temel kanunları olarak çevrilen kitabı grundgesetze der arithmetik'i yazmaya 1893 yılında yazmaya başlayıp 1903 yılında bitirse de, 1879 yılından kitabı yazmaya başladığı 1893 yılına kadar yatıp kalkıp bu konu üzerine düşünüyor.
frege sayıların evrensel olduklarını ve cisimlere ait olmadıklarını, bu sebepten matematiğin sayılardan daha temel bir kavram olan kümeler üzerine kurulması gerektiğini düşünüyor. bu düşüncesi aslında oldukça basit ve estetik bir düşüncedir. daha iyi anlaşılabilmesi için biraz açıklama yapmak gerek.
diyelim ki biz sayı dediğimiz şeyin cisimlerin bir özelliğini olduğunu düşünüyoruz. yani mesela " 1 inek" dediğimiz zaman 1 dediğimiz şeyin aslında bir varlık olduğunu değil, inek dediğimiz şeyin bir özelliği olduğunu düşünüyoruz. bu durumda frege'ye göre eğer 1 dediğimiz şey o ineğin özelliği ise, 1 dediğimiz şeyin sadece o ineğe ait olması gerekir. peki durum gerçekte böyle midir?
şimdi başka bir durumu değerlendirelim:
diyelim ki 2 inek yan yana duruyor ve biz onlara bakıp " burada 1 çift inek var" diyoruz. sonra da ineklere bakıp "burada 2 inek var" diyoruz. bu durumda oraya baktığımızda hem "çift" dediğimiz şey için 1 demiş oluyoruz hem de "inek" dediğimiz şey için 2 demiş oluyoruz ama aslında aynı şeye baktığımız halde hem 1 hem de 2 diyebiliyoruz.
bu durumda 1 veya 2 dediğimiz şeyler, yani sayılar bir şeyin özelliği olmaktan çıkıyor. çünkü baktığımız şeye hem 1 hem de 2 diyebiliyorsak ve baktığımız şeyin aynı anda hem 1 hem de 2 özelliğine sahip olması mümkün değilse bu durumda sayılar o şeyin özelliği olarak tanımlanamıyor.
yani bir şeye bakıp o şeye 1 mi yoksa 2 mi diyeceğimize karar vermemiz, o şeyin hangi özelliğe sahip olduğuna değil, bizim o şeyi nasıl kategorize ettiğimize bağlı olan bir durum. eğer biz o şeyi çift olarak kategorize ediyorsak o şeyin sayısı 1 olurken, o şeyi tek olarak kategorize ediyorsak o şeyin sayısı 2 oluyor. yani aynı şeye bakarak hem 1 çift inek hem de 2 inek diyebiliyoruz.
bütün bunlar üzerine frege hikmetin sayılarda değil de kategorizasyonda, yani kümelerde olduğu sonucuna varıp matematiğin temellerinin kümeler üzerinden atılması gerektiğine karar verip kitabını bu düşünce üzerine yazıyor.
bu kitabı yazarken ortaya kümeleri tanımlayan birkaç aksiyom atıyor ve bu aksiyomlardan yola çıkarak yıllar boyunca teoremler geliştiriyor. düşünme ve araştırma sürecini saymayıp sadece kitabın yazılma sürecini bile saysak frege'nin kitabını yazması tam 10 yıl sürüyor ve frege bu 10 yılın tamamında kıtabını en başta belirlediği aksiyomlar üzerine kuruyor.
frege'nin bu kadar çaba ve emek ile yazdığı kitap bizlere şunu söylüyor:
matematiğin temeli sayılar değil, kümelerdir. çünkü sayılar, konseptler ve bu konseptlerin uzantılarının oluşturduğu kümelerden ibarettir.
peki konseptler ve uzantıları ne demektir?
konsept dediğimiz şey belirli bir sınıflandırma biçimidir ve uzantılar da bu sınıflandırma biçimine dahil olan nesnelerdir.
örneğin "ekşi sözlük girdileri" isminde bir küme tanımlamak istiyoruz. bu durumda "ekşi sözlük" dediğimi şey konsept, girdiler ise bu konseptin uzantılarıdır. bu durumda başka bir sözlükte yazılmış girdiler de uzantı kabul edilseler de "ekşi sözlük" konseptine, yani "ekşi sözlük" sınıflandırmasına uygun olmadıkları için bu sözlükte yazılan girdiler "ekşi sözlük girdileri" kümesini oluşturmazlar. bu sebepten "ekşi sözlük girdileri" kümesi eşsizdir. yani evrende birbirinden farklı "ekşi sözlük girdileri" kümesi var olamaz.
yani bizim "1" dediğimiz şey bir konseptin uzantılarının oluşturduğu kümedir.
mesela 2 dediğimiz zaman aslında biz "uzantısı 2 dediğimiz şey olan konseptler" kümesinden bahsetmiş oluyoruz. bu kümenin ismi de "bir çift şeyler" kümesidir.
eğer biz yan yana 2 inek görürsek onlara 2 inek demiş oluyoruz. böylelikle konseptimiz inek, uzantımız ise "bir çift" oluyor. sonuç olarak gördüğümüz küme "bir çift" kümesi, yani 2 kümesi oluyor. bu durumda konseptin ne olduğunun bir önemi kalmıyor çünkü inek yerine 2 tavuk görmüş olsak yine de "bir çift" kümesini görmüş oluyoruz.
frege matematiğin temelinin sayılar değil de kümeler olduğuna karar verdikten sonra bütün kitabını inşa ettiği aksiyomları tam olarak bu düşünce üzerinden kuruyor. bu aksiyomlardan bir tanesi de şu görüşü doğru kabul ediyor:
"bir konseptin uzantılarını içeren her kümeyi içeren bir küme oluşturmak mümkündür"
yani mesela konseptimiz "kuş" konsepti olsun. bu konsepti uzantılarını içeren serçeler kümesi, güvercinler kümesi gibi birçok küme bulabiliriz. frege'nin aksiyomuna göre de bu kümelerin her birini içeren bir küme oluşturmak mümkündür. yani "kuş konseptinin uzantılarını içeren kümelerden oluşan küme" isminde bir küme yaratmak mümkündür.
bu aksiyom ile yıllarca kitabını inşa eden frege kitabı yayınlar yayınlamaz kitap bertrand russell'ın ilgisini çekiyor.
çok kısa bir süre sonra bertrand russell frege'ye kitabını okuduğunu ve kafasına takılan bir problem olduğunu söylediği bir mektup gönderiyor.
russell mektupta basitçe frege'ye "hocam iyi hoş, çok güzel kitap yazmışsın da kitabın ilk başındaki aksiyomlardan biri hatalı bence ya" diyor. hatalı derken kastettiği aksiyom da yukarıda bahsettiğimiz aksiyom.
russell bu aksiyomun bir paradoksa yol açtığını, bu sebepten matematiğin temelini oluşturacak bir sistemin aksiyomu kabul edemeyeceğini söylüyor ve bu aksiyom ile oluşturulabilecek kümelerin bir paradoksa sebep olabileceğini örnek vererek gösteriyor.
mektup görselindeki "let w be the predicate: to be a predicate that cannot be predicated of itself" kısmı russell'ın frege'ye gösterdiği şeyi tarif ediyor.
russell basitçe "kendi kendisini içermeyen şeyleri içeren şeyler kümesi diye bir küme düşünelim" diyor.
bu noktada russell aslında frege'ye "yani sen sadece kendisini tıraş edemeyenleri tıraş edebilen berber diye şey olması mümkündür" demiş oluyor.
şimdi düşünelim:
"sadece kendisini içermeyen şeyleri içeren şeylerin kümesi" ne demek olabilir?
örneğin konseptimiz "katalog" konsepti olsun. katalog dediğimiz şey aslında belirli bir kümenin elemanlarını içeren kümedir. yani mesela ev kataloğu dediğimiz zaman, evler kümesinin elemanlarını içeren bir nesneden bahsetmiş oluruz.
frege'nin aksiyomuna göre bir katalog, bir şeyleri içeren şeylerden oluşabilir.
yani mesela "ev katalogları kataloğu" isminde bir katalog düşünürsek, aslında aslında içinde ev bulunan katalogları gösteren bir katalog, yani belirli kümeleri içeren kümelerden oluşmuş bir küme düşünmüş oluruz.
özetle frege "eğer ev kataloğu diye bir şey varsa ev kataloğu kataloğu da olur, ev kataloğu kataloğu diye bir şey varsa ev kataloğu kataloğu kataloğu da olur" diye sonsuza dek gidilebileceğini iddia eden bir aksiyom ortaya atmış oluyor.
russell da buna cevap olarak şunu söylüyor.
eğer katalog diye bir konseptten kataloglar kümesini ortaya atarsak, senin iddiana göre "kataloglar kataloğu" diye bir küme de var olabiliyor. bu durumda kataloglar kataloğu demek, içinde katalogları barındıran katalog demek oluyor. böylelikle de kataloglar kataloğu dediğimiz şeyi eğer elimize alırsak, kataloglar kataloğu da bir katalog olduğu için bu kataloğun içinde kendini de bulmamız gerekir. yani aslında kataloglar kataloğu, içinde kendisini de barındıran bir küme demek oluyor.
şimdi biz "kendini içermeyen katalog" diye bir konsept düşünelim. bu konsept ile de "kendini içermeyen kataloglar" kümesini hayal edelim. mesela bir ev kataloğunun içinde evler vardır ama kataloglar yoktur. bu durumda evler kataloğu kendini içermeyen bir katalog olur ve buraya kadar her şey normal, ancak bu noktadan sonra frege patlıyor.
frege aksiyomunda "x kataloğu" diye bir şey varsa, "x kataloğu kataloğu" diye bir şey yapmak da mümkündür demiş ve tüm kitabını bunun üzerine inşa etmişti.
bu durumda eğer " kendini içermeyen kataloglar" diye bir küme mümkünse, o zaman "kendini içermeyen kataloglar kataloğu" diye bir katalog yapmak da mümkün olmalı.
peki eğer biz böyle bir katalog yaparsak, bu katalog kendini içerir mi yoksa içermez mi? tıpkı kendini tıraş edemeyen berber gibi, eğer bu katalog kendini içeriyorsa, kendini içermemesi gerekir. eğer kendini içermiyorsa da kendini içermesi gerekir. e bu durumda böyle bir katalog yapamayız. eğer böyle bir katalog yapamıyorsak da frege'nin aksiyomu doğru olmaz. eğer frege'nin aksiyomu doğru değilse de frege'nin tamamen bu aksiyom üzerine inşa ettiği kitap doğru olmaz.
russell frege'ye bu mektubu gönderdiğinde kitabı daha yeni bitirmiş olan adamcağız bitirdiği an tüm emeklerinin birdenbire işe yaramaz hale geldiğini görüp sinir krizi geçiriyor ve paradoksa bir çözüm bulabilmek için paradoksu takıntı haline getirip ruhsal sağlığını kaybediyor. bir süre boyunca uğraşıp paradoksa çözüm bulamayınca da depresyona girip yemeden içmeden kesiliyor, hastalanıyor ve sonunda hayattan umudu kesip yaptığı her şeyden vazgeçerek matematikten elini eteğini çekiyor. russell bir de üstüne frege'nin sinir krizi geçirip depresyona girdiğini bilmediği için, frege'nin durumu nasıl olgun bir bilim insanı gibi kabullenip hatasında diretmediğine dair kendince frege'yi öven bir yazı bile yayınlıyor.
oldukça basit bir konudaki tek bir paradoks, bir adamı üzüntüden yataklara düşürmeye yetebiliyor.
ileri okuma için:
stanford ansiklopedisi russell paradoksu
stanford ansiklopedisi frege
cambridge press frege'nin ruhsal çöküşü
brittanica konseptler ve uzantılar
ali nesin russell paradoksu ders videosu
Tarih Boyunca Birçok Filozof ve İktisatçıyı Meşgul Eden Elmas-Su Paradoksu
