Matematik ve Fizikte Bize Öğretilen Bilgilerin Gerçek Hayatta İşe Yaradığı Yerler
matematik ve fizik derslerinde karşılaştığımız zor ve karmaşık görünen denklemler hayatımıza bir şekilde etki eder. bazı denklemler diğerlerine göre hayatımıza etkisi çok daha kapsamlıdır. aşağıda dünyayı değiştiren 17 denklemin yaşamlarımızı nasıl etkilediğini ve uygulama alanlarını inceleyeceğiz.
pisagor teoremi
pisagor teoremi geometrinin ve trigonometrinin temelini oluşturmanın yanı sıra cebir ile yakından ilişkilidir.
düz bir düzlem üzerinde bir dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi tanımlar. kısa kenarların uzunluklarının kareleri toplamı (a ve b), uzun kenarın uzunluğunun karesine eşittir, (c). bu ilişki, aslında öklid geometrisindeki düz dikme eğriyi, öklid geometrisi olmayan eğrilerden ayırır. örneğin, bir kürenin yüzeyinde çizilen üçgen pisagor teoremine uymak zorunda değildir.
teorem mimaride, harita yapımında ve diğer birçok alanda yoğun bir şekilde kullanılmaktadır. aslında hepimizin matematikte en az bir defa kullanıp kafa yorduğumuz bu denklemin hayatımızda kullanımı çok geniştir.
logaritma
logaritmalar üstel fonksiyonların tersidir. belli bir taban için bir sayının logaritması, bize tabanın hangi kuvvet ile çarpıldığını söyler.
çok büyük sayılarla yapılacak çarpma işlemlerinin, belirli bir tabana göre logaritmik olarak yapıldığında, toplama biçiminde ifade edilebileceğini gösterir.
bildiğiniz gibi richter ölçeği depremin şiddetini ölçmede kullanılan bir ölçektir. bu ölçek logaritmiktir. yani richter ölçeğine göre 6 olan deprem, richter ölçeğine göre 3 olan depremden 2 kat değil tam tamına 1000 kat daha şiddetlidir.
kalkülüs
şu anda bildiğimiz kalkülüs, 17. yüzyılın sonlarında isaac newton ve gottfried leibniz tarafından tanımlandı. newton kalkülüsü hareket yasalarını geliştirmek için kullanmıştır.
kalkülüs modern bilim ve teknolojinin her yerinden karşımıza çıkar. bir uzay roketinin dünya yörüngesine ne zaman varacağından, gökdelenlerin ve köprülerin inşasına hatta ilaçların vücut içindeki derişimlerinin hesaplanmasına kadar geniş bir kullanımı vardır.
bugün neredeyse tüm mühendislik bölümü öğrencilerinin ilk yılında aldığı öğrenilmesi gereken bir matematik alt bilim dalıdır. modern bilimde sistemleri modellemede ve kontrol etmede önemli bir oynar. kısacası kalkülüs tıp uzmanlarının, bilim adamlarının, mühendislerin, istatistikçilerin, fizikçilerin ve ekonomistlerin evrensel bir dilidir.
newton evrensel çekim yasası
newton’un evrensel çekim yasası, her parçacığın, kütlelerinin çarpımı ile doğru orantılı ve merkezleri arasındaki uzaklığın karesiyle ters orantılı bir kuvvetle evrendeki diğer parçacığı çektiğini belirtir.
newton’un yerçekimi yasası, iki nesne arasındaki yerçekimi kuvvetini f evrensel bir sabit g cinsinden, iki nesnenin kütleleri, m1 ve m2 ve nesneler arasındaki mesafe r olarak tanımlar. ısaac newton, yasalarını johannes kepler’in önceki çalışmalarından yararlanarak türetmiştir.
newton yasası, bilimsel tarihin en önemli yasaların biri olarak anılır. daha sonra einstein’ın görelilik teorisi tarafından değiştirilmiş olsa da nesnelerin birbirleriyle nasıl etkileşime girdiğinin pratik açıklaması için hala kullanılmaktadır. gezegenlerin ve yıldızların hareketini anlamamıza, uyduları dünya yörüngesine yerleştirmemize olanak sağlayan kilit bir denklemdir. newton’un yerçekimi yasası, fizikteki en temel denklemlerden biridir.
karmaşık sayılar
matematikçiler, doğal sayılardan negatif sayılara, kesirlere, gerçek sayılara giderek sayıların gerçekte ne olduğu fikrini her zaman genişletmişlerdir. genellikle i ile yazılan -1’in karekökü bu işlemi tamamlayarak karmaşık sayıların keşfi tamamlanmıştır.
hayali veya karmaşık sayılar, mühendislerin düzlemde çalışan pratik sorunları çözmelerine olanak tanıyan karmaşık analize izin verir. elektrik mühendisliğinde ve karışık matematiksel ifadelerde yaygın olarak kullanılır.
euler’in çok yüzlü formülü
euler formülünde; “v” birçok yüzlü geometrik şeklin köşe sayısını, “e” aynı şeklin kenar sayısını, “f” ise aynı şeklin yüz sayısını, ifade eder. denkleme göre, yüz sayısı ile köşe sayısının toplamından kenar sayısını çıkarırsanız, daima 2 sayısını elde edersiniz.
basit olarak bir küp düşünelim. küpte, 8 köşe, 12 kenar ve 6 yüz vardır. köşeleri ve yüzleri toplar, kenarları çıkarırsam, (8+6-12=2) 2 sayısını elde ederiz.
insanlığın uzaya roket göndermesi ve dna yapısını anlamamıza yardımcı olmuştur. euler’in formülü, ağ bilgileri için çözümler bulmada temel bir bileşendir. euler’in icadı, şekiller ve uzay hakkında yeni bir düşünme biçimidir. ayrıca, geometri ile bir dna’nın düğüm yapısı arasında net bir bağlantı sağlar.
normal dağılım
bugün hepimiz çan eğrisi grafiklerine aşinayız. verilerin belirli bir kümede dağılımını açıklamaya yardımcı olurlar. denklem, modern istatistiğin temelidir. normal dağılım, aynı zamanda gauss dağılımı veya gauss tipi dağılım olarak isimlendirilen, birçok alanda pratik uygulaması olan, çok önemli bir sürekli olasılık dağılım ailesidir.
çan eğrisi grafiğine sahip normal olasılık dağılım fonksiyonu, istatistiğin her yerinde bulunur. denklemde; “?”” standart sapmayı, “x” fonksiyonumuzun değişkenini, “µ” sayısı ise ortalama değeri ifade eder. ortalama değere yaklaştıkça o olayın görülme olasılığı artar. tam tersine ortalama değerden uzaklaştıkça o olayın görülme olasılığı azalır.
normal eğri, çeşitli özellikleri modellemek için fizik, biyoloji ve sosyal bilimlerde kullanılır. istatistikçiler ve bilim adamları normal dağılımı, okuma becerisini, iş memnuniyetini, anketleri, ıq puanlarını, kan basıncını gibi değerleri ölçmek için kullanır.
dalga denklemi
dalgaların davranışını tanımlayan diferansiyel bir denklemdir. ilk olarak titreşen keman tellinin davranışı anlamak için türetilse de denklemi çözmek için geliştirilen teknikler ile diğer diferansiyel denklemleri de anlaşılmasının kapılarını açtı.
daniel bernoulli ve jean d’alembert, biraz farklı şekillerde de olsa, 18. yüzyılda bu ilişkiyi ilk tanımlayanlardı.
bu denklem elektromanyetizma, optik, akışkanlar dinamiği ve ısı transferinde önemli bir rol oynar.
fourier dönüşümü
fourier dönüşümü, insan konuşması gibi karmaşık dalga yapılarını anlamak için gereklidir. konuşan bir kişinin kaydı gibi karmaşık bir dalga fonksiyonu söz konusu olduğunda, fourier dönüşümü bu karışık dalgaları birkaç basit dalganın birleşimine dönüştürerek dalgaların analiz edilmesini kolaylaştırır. zamana bağlı fonksiyonları, frekansa bağlı olarak tanımlamaya yarar.
fourier dönüşümü, modern sinyal işleme ve analizinin ve veri sıkıştırmanın temelini oluşturur.
navier - stokes denklemi
navier-stokes denklemleri akan akışkanların davranışını tanımlar. bir borudan geçen su, bir uçak kanadı üzerinden hava akışı gibi mühendislik uygulamalarında sıkça kullanılır. denklemin sağ tarafı az miktarda akışkanın ivmesini, sol taraf ise akışkana etki eden kuvvetleri temsil eder.
leonhard euler akışkan hareketi modellemek için ilk denemeyi yaptı, fransız mühendis claude-louis navier ve irlandalı matematikçi george stokes bugün hala uygulanan denklemi kullanımı sundu.
dalga denklemi gibi, bu da diferansiyel bir denklemdir. denklemin sol tarafındaki “?” harfi, akışkanın yoğunluğunu ifade eder ve parantezin içinde hızın zamana göre türevi alınmış yani ivmeyi ifade eder. buradaki ivme bir akışkanın ivmesidir. parantez içerisindeki ikinci terim, akışın hızı ile akışın gradyanını (değişim vektörünü) birbiriyle çarpan ifadedir.
denklemin sağ tarafında ise üzerine etki eden kuvvetleri belirtir. (ters üçgen, del operatörüdür. ilk terimde akışın basıncının del operatörü ile çarpımı alınır. sonrasında ise aynı işlem, toplam stres tensörü ile yapılır ve sonunda bu iki terimin toplamına “f” ile ifade edilen vücut kuvvetleri eklenir.)
dolayısıyla bu denklem, newton’un ikinci yasası’nın f=m.a akışkanlara genişletilmiş bir versiyonudur.
maxwell’in denklemleri
manyetik alanda yapılacak herhangi bir değişiklik, elektrik alanda değişim ile sonuçlanır. tam tersi durum da geçerlidir. diğer bir ifadeyle elektrik ve manyetizma birbirleriyle ilişkilidir.
1831’de michael faraday, değişen bir manyetik alanın yakındaki bir telde bir akımı indüklediğini keşfettiğinde iki doğal kuvvet, elektrik ve manyetizma arasındaki bağlantıyı keşfetti. daha sonra james clerk maxwell, faraday’ın gözlemini denklemlere dönüştürerek klasik fiziğin temellerini değiştirmiştir.
maxwell denklemleri dünyaya güç veren denklemlerdir. çoğu elektrik jeneratörü (rüzgar türbini, bir hidroelektrik barajında) mekanik enerjiyi bir mıknatısı döndürerek manyetik alan üretme ve elektriğe dönüştüreme prensibi ile çalışır. bu işlemi ters yönde çalıştırarak elektrik motorunu elde edersiniz.
özet olarak, maxwell denklemleri elektrik mühendisliği, iletişim teknolojisi ve optiğin neredeyse her uygulamasında hala kullanılmaktadır.
termodinamik ’in ikinci yasası
kapalı bir sistemde yani kütlenin sabit kaldığı bir sistemde entropinin (s) her zaman sabit veya arttığını belirtir. termodinamikte entropi kısacası bir sistemin ne kadar düzensiz olduğunun bir ölçüsüdür. evrende düzensizlik kaçınılmazdır.
fransız fizikçi sadi carnot, 19. yüzyılda buhar motoru verimliliğini analiz etmeye çalışırken, tüm bilimdeki en derin denklemlerden birine rastladı. bize bazı süreçlerin geri döndürülemez olduğunu ve hatta zamanın bir fonksiyonu olabileceğini ve ısının her zaman sıcak bölgeden soğuk bölgeye eşit bir şekilde dağılana kadar ısı akışın devam edeceğini belirtiyor.
termodinamiğin ikinci yasası ısı transferinin yönünü anlamamız da, günümüzde dizel ve benzinli içten yanmalı motorların gelişiminde, elektrik üretiminde ve evrenin oluşumunu anlamamızda önemli bir rol oynamıştır.
izafiyet teoremi
enerji, kütle(m) ile ışık hızının karesinin(c2) çarpımına eşittir. diğer bir ifadeyle kütle aşırı yoğunlaşmış bir enerji biçimidir. denklemdeki sabitin büyüklüğü nedeniyle (ışık hızının karesi, hayal edilemeyecek kadar büyük bir sayı), çok küçük bir kütle miktarından muazzam miktarda enerji açığa çıkabilir.
genel görecelik teorisi, yer çekimini, uzay ve zamanın kendilerini eğip katlanması olarak tanımlar ve newton’un yasalarından beri yer çekimi anlayışımızda ilk büyük değişikliktir. genel görecelik, evrenin kökenini, yapısını ve akıbetini anlamamız için gereklidir.
einstein’ın en ünlü denklemi, büyük kararsız bir çekirdek iki küçük çekirdeğe bölündüğünde, nükleer fisyonda salınan büyük miktarda enerji potansiyeline işaret eder. bunun nedeni, iki küçük çekirdeğin ayrıldıktan sonra kütlelerinin toplamı her zaman orijinal büyük çekirdeğin kütlesinden daha az olmasıdır. eksik kütle enerjiye dönüşür.
örnek verecek olursak, 1945’te japonya’da nagasaki’ye atılan atom bombası sadece 1 gram kütleyi enerjiye dönüştürdü ve bu 1 gramlık kütle 20.000 tnt’nin verdiği patlama etkisini yarattı.
ayrıca bu denklem kara deliklerden büyük patlamaya, nükleer enerjiye ve ayrıca telefonlarımızdaki gps’e kadar her şeyi açıklamaya yardımcı olmuştur.
schrödinger denklemi
schrödinger denklemi, bir kuantum sistemi hakkında bize her bilgiyi veren araç dalga fonksiyonu adında bir fonksiyondur. dalga fonksiyonunun uzaya ve zamana bağlı değişimini gösteren denklemi ilk bulan avusturyalı fizikçi erwin schrödinger’dir.
bir parçacığın dalga fonksiyonundaki değişimin kinetik enerjisi (hareketi) ve potansiyel enerjisinden (üzerindeki etkileşimler) nasıl hesaplanabileceğini açıklar. başka bir ifadeyle newton f=ma ifadesinin kuantum versiyonudur.
erwin schrödinger denklemini 1925’te formüle ettiğinde, fizikçilerin kuantum parçacıklarının nasıl hareket ettiğini ve etkileşime girdiğini hesaplamasına olanak sağlayarak yeni kuantum mekaniği teorisini sağlam bir zemine oturttu.
denklem biraz tuhaf görünüyor olabilir çünkü denklem dalgaların matematiğini kullanıyor. (atom altı parçacıklar etkileşime dalgalar aracılığıyla girerler.)
atomun yapısını, örneğin çekirdeğin etrafındaki elektronların dizilişini ve tüm kimyasal bağları tanımlar. daha genel olarak kuantum mekaniğindeki birçok hesaplamada kullanılır ve lazerlerden transistörlere kadar birçok modern teknoloji ve kuantum bilgisayarların gelecekteki gelişimde önemli bir rol oynar.
shannon bilişim teorisi
bell labs mühendisi claude shannon tarafından 2.dünya savaşı’ndan sonraki yıllarda geliştirilen bilişim veya bilgi teorisi, bilginin sembol dizileri şeklinde kodlanmasını ve bu bilginin iletilebileceği hızı inceleyen bir matematik dalıdır.
bilişim teorisindeki konuların uygulamaları arasında veri sıkıştırma ve kanal kodlama yer alır. bu alandaki araştırmalar, internet ve cep telefonlarının geliştirilmesinde de etkili oldu. kodlamada hata tespiti olan her şeyde kullanılır. kodlamanın uçak jetlerinden otomobillere ve bilgisayarlara kadar düşünürsek bilişim teorisinin ne kadar önemli olduğu apaçık ortada.
denklemde sol tarafta yer alan ve “h” harfi gibi gözüken ama yunan harflerinden biri olan “eta”, entropiyi (düzensizliği) simgeler. denklemin sağındaki “p(x)” incelemekte olan fonksiyonu gösterir. bu fonksiyon, seri toplama ifadesi altında aynı fonksiyonun logaritmasıyla çarpılmaktadır.
kaos teorisi
bu denklem may’ın lojistik haritasıdır. zamanla gelişen bir süreci açıklar. kaos teorisi, davranışları koşullardaki küçük değişikliklerde son derece hassas olan karmaşık sistemleri inceleyen bir matematik dalıdır. kısacası, küçük bir değişikliğin ne kadar büyük ölçekli sonuçlar doğurabileceğini gösterir. kaos teorisinin uygulamaları hayatın her yerinde rastlanabilir. meteoroloji, sosyoloji, fizik, bilgisayar bilimleri, mühendislik, biyoloji, ekonomi gibi birçok yerde karşımıza çıkabilir.
birçok alanda kaotik davranışları görebiliriz. hava, klasik bir örnektir. bir gün atmosferik koşullarda ufak bir değişiklik, birkaç gün sonra tamamen farklı hava koşullarına yol açabilir. bu hava sistemlerinin çoğu, bir kıtada kanatlarını çırpan bir kelebek, başka bir kıtada kasırgaya sebep olabilir.
kaos teorisinin geliştirilmesiyle birlikte doğal sistemlerin nasıl çalıştığına dair anlayışımızı tamamen değiştirmiştir. depremleri modellemek ve hava durumunu tahmin etmek için de kullanılır.
black- scholes denklemi
black-scholes denklemi, finans uzmanlarının ve tüccarların, bazı temel varlıklara dayalı finansal ürünler olan türevler için fiyatları nasıl bulduklarını açıklar. türevler, modern finansal sistemin önemli bir parçasıdır.
denklemde, v hisse senedi fiyatının s ve t zamanının bir fonksiyonu olarak opsiyonun fiyatıdır, r risksiz faiz oranıdır ve ? hisse senedinin oynaklığıdır.
günümüzde trilyon dolarlık türev piyasasının yaratılmasına yardımcı oldu. formülün (ve onun soyundan gelenlerin) uygunsuz kullanımının finansal krize yol açabileceği iddia ediliyor.
Dünyanın Gelmiş Geçmiş En Zeki İnsanı William James Sidis'in Hayal Kırıklığıyla Dolu Hayatı
